Analisi dell'indice S&P 500 per determinare la media dei rendimenti e la deviazione standard dei rendimenti per periodi di 1, 5, 10 e 20 anni.

L'ipotesi è che per più è lungo il periodo di riferimento, più i rendimenti si avvicineranno alla media.

I dati sono stati prelevati a questo indirizzo:https://it.finance.yahoo.com/quote/%5EGSPC/history?period1=-1325548800&period2=1640908800&interval=1wk&filter=history&frequency=1wk&includeAdjustedClose=true

Importo le librerie e dei dati necessarie all'analisi. Il dati sono contenuti in un file .csv che è stato precedentemente ripulito.

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib 
import matplotlib.pyplot as plt
import datetime

data = pd.read_csv('s_p1969_2021.CSV', sep=';')
data.convert_dtypes()

data['Data'] = pd.to_datetime(data['Data'])
data.head() #visualizzazione dei dati

	Data	Apertura	Max	Min	Chiusura	Chiusura_adj
0	2021-12-27	4733.99	4808.93	4733.99	4778.73	4778.73
1	2021-12-20	4587.90	4740.74	4531.10	4725.79	4725.79
2	2021-12-13	4710.30	4731.99	4600.22	4620.64	4620.64
3	2021-12-06	4548.37	4713.57	4540.51	4712.02	4712.02
4	2021-11-29	4628.75	4672.95	4495.12	4538.43	4538.43

%matplotlib inline

data.plot(x='Data', y='Chiusura_adj', xlabel = 'Anno', ylabel = 'Valore', title='Indice S&P 500', label = 'Quotazione')

plt.show()

Ai fini dell'analisi non sono necessari tutti i dati settimanali, ma confronteremo i rendimenti per ogni anno solare. Si considerà come prezzo di carico dell'anno n il prezzo di chiusura dell'anno n-1.

Per ottenere un dataframe con le sole date ed i prezzi di chiusura dell'ultima settimana di ogni anno, applico al dataframe data un filtro per ottenere solo le chiusure annuali, ed elimino le colonne che non saranno utilizzate nell'analisi. Tali dati saranno copiati in un nuovo dataframe chiamato annual_close

 #creazione di una maschera per filtrare i dati, in modo da includere solo l'ultimo dato di ogni anno.
mask = []
mask = data['Data'].map(lambda x: ((x.month == 12) and (24 < x.day <=31)))

#creazione di un nuovo dataframe contenente i soli dati necessari
annual_close = pd.DataFrame(data[mask]).drop(['Apertura','Max','Min','Chiusura'], axis = 1)

Calcolo del rendimento annuo

A questo punto verrà calcolato il rendimento annuo, secondo le regole precedentemente esposte e aggiunto al dataframe annual_close.

annual_close.insert(2, 'Rend_annuo', (round(annual_close.Chiusura_adj/ annual_close.Chiusura_adj.shift(periods = -1)-1,4)))

Distribuzione dei rendimenti per periodo di detenzione

Distribuzione rendimento annuo

Iniziamo a vedere graficamente come si sono distribuiti i rendimenti a 1 anno e calcoliamo media e deviazione standard.

%matplotlib inline
annual_close.Rend_annuo.plot.hist(label = 'Frequenza') #distribuzione dei rendimenti annui
plt.axvline(annual_close.Rend_annuo.mean(), color='k', linestyle='dashed', linewidth=1, label = 'Media')
plt.legend()
plt.show()

Indicatori di dispersione per rendimento a un anno con periodo di detenzione a un anno

Calcoleremo media e deviazione standard per il rendimento annuo e minimo e massimo osservato.

print('La media è di ' + str(round(np.mean(annual_close.Rend_annuo)*100, 2))\
      +'%. \nLa deviazione standard campionaria è pari a ' + str(round(np.std(annual_close.Rend_annuo, ddof=1)*100,2))\
      +'%.\nIl rendimento medio geometrico rispettivamente massimo e minimo rilevati per un qualsiasi quinquennio sono stati pari a: \n '\
      + str(round(max(annual_close.Rend_annuo),2)*100) + '% (rendimento massimo) \n'\
      + str(round(min(annual_close.Rend_annuo),2)*100)  + '% (rendimetno minimo).')

La media è di 9.14%. 
La deviazione standard campionaria è pari a 16.04%.
Il rendimento medio geometrico rispettivamente massimo e minimo rilevati per un qualsiasi quinquennio sono stati pari a: 
 34.0% (rendimento massimo) 
-34.0% (rendimetno minimo).

Distribuzione rendimento medio annuo con periodo di detenzione pluriennale

Per esaminare la distribuzione dei rendimenti medi occorre dapprima determinare il rendimento medio annuo per ogni periodo di detenzione e per farlo si utilizzerà il metodo del rendimento medio geometrico calcolato con la seguente formula:

$$r_g = \sqrt[n] {R_c+1}-1 $$

dove:

• $R_c$ è il rendimento cumulato
• $r_g$ è il rendimento medio geometrico annuo, calcolato sul periodo di $n$ anni

Per calcolare il Rendimento cumulato $r_c$ si utilizzerà la seguente formula:

$$R_c = \frac{q_f}{q_i}-1 $$

dove: $q_f$ è la quotazione alla fine del periodo di riferimento; $q_i$ è la quotazione all'inizio del periodo di riferimento

Combinando tra di loro le due precedenti formule, si otterrà:

$$ r_g = \sqrt[n]{\frac{q_f}{q_i}}-1 $$

Periodo di detenzione di 5 anni

anni = 5

rend_medio_geom_5anni = ((annual_close.Chiusura_adj/annual_close.Chiusura_adj.shift(periods=-anni))**(1/anni)-1)
annual_close.insert(3,'Rend_Geom_Medio_5a', rend_medio_geom_5anni)

plt.hist(annual_close.Rend_Geom_Medio_5a , label = 'Frequenza')
plt.axvline(annual_close.Rend_Geom_Medio_5a.mean(), color='k', linestyle='dashed', linewidth=1, label = 'Media')
plt.legend()
plt.show()

Indicatori di dispersione per rendimento medio geometrico annuo con periodo di detenzione a cinque anni

Calcoleremo media e deviazione standard per il rendimento annuo e minimo e massimo osservato.

print('La media geometrica del rendimento è di ' + str(round(annual_close.Rend_Geom_Medio_5a.mean()*100, 2))\
      +'%. \nLa deviazione standard campionaria è pari a ' + str(round(np.std(annual_close.Rend_Geom_Medio_5a, ddof=1)*100,2))\
      +'%.\nIl rendimento medio geometrico rispettivamente massimo e minimo rilevati per un qualsiasi quinquennio sono stati pari a: \n '\
      + str(round(max(annual_close.Rend_Geom_Medio_5a),2)*100) + '% (rendimento massimo) \n'\
      + str(round(min(annual_close.Rend_Geom_Medio_5a),2)*100)  + '% (rendimento minimo).')

La media geometrica del rendimento è di 7.8%. 
La deviazione standard campionaria è pari a 7.38%.
Il rendimento medio geometrico rispettivamente massimo e minimo rilevati per un qualsiasi quinquennio sono stati pari a: 
 26.0% (rendimento massimo) 
-5.0% (rendimento minimo).

Periodo di detenzione di 10 anni

anni = 10

rend_medio_geom_10anni = ((annual_close.Chiusura_adj/annual_close.Chiusura_adj.shift(periods=-anni))**(1/anni)-1)
annual_close.insert(4,'Rend_Geom_Medio_10a', rend_medio_geom_10anni)

plt.hist(annual_close.Rend_Geom_Medio_10a, label = 'Frequenza')
plt.axvline(annual_close.Rend_Geom_Medio_10a.mean(), color='k', linestyle='dashed', linewidth=1, label = 'Media')
plt.legend()
plt.show()

Indicatori di dispersione per rendimento medio geometrico annuo con periodo di detenzione a dieci anni

Calcoleremo media e deviazione standard per il rendimento annuo e minimo e massimo osservato.

print('La media geometrica del rendimento è  ' + str(round(annual_close.Rend_Geom_Medio_10a.mean()*100, 2))\
      +'%. \nLa deviazione standard campionaria è pari a ' + str(round(np.std(annual_close.Rend_Geom_Medio_10a, ddof=1)*100,2))\
      +'%.\nIl rendimento medio geometrico annuo rispettivamente massimo e minimo rilevati per un qualsiasi decennio sono stati pari a: \n '\
      + str(round(max(annual_close.Rend_Geom_Medio_10a),2)*100) + '% (rendimento massimo) \n'\
      + str(round(min(annual_close.Rend_Geom_Medio_10a),2)*100)  + '% (rendimento minimo).')

La media geometrica del rendimento è  8.0%. 
La deviazione standard campionaria è pari a 4.85%.
Il rendimento medio geometrico annuo rispettivamente massimo e minimo rilevati per un qualsiasi decennio sono stati pari a: 
 16.0% (rendimento massimo) 
-3.0% (rendimento minimo).

Periodo di detenzione di 20 anni

anni = 20

rend_medio_geom_20anni = ((annual_close.Chiusura_adj/annual_close.Chiusura_adj.shift(periods=-anni))**(1/anni)-1)
annual_close.insert(5,'Rend_Geom_Medio_20a', rend_medio_geom_20anni)

plt.hist(annual_close.Rend_Geom_Medio_20a, label = 'Frequenza')
plt.axvline(annual_close.Rend_Geom_Medio_20a.mean(), color='k', linestyle='dashed', linewidth=1, label = 'Media')
plt.legend()
plt.show()

Indicatori di dispersione per rendimento medio geometrico annuo con periodo di detenzione a venti anni

Calcoleremo media e deviazione standard per il rendimento annuo e minimo e massimo osservato.

print('La media geometrica del rendimento è  ' + str(round(annual_close.Rend_Geom_Medio_20a.mean()*100, 2))\
      +'%. \nLa deviazione standard campionaria è pari a ' + str(round(np.std(annual_close.Rend_Geom_Medio_20a,ddof=1)*100,2))\
      +'%.\nIl rendimento medio geometrico annuo rispettivamente massimo e minimo rilevati per un qualsiasi ventennio sono stati pari a: \n '\
      + str(round(max(annual_close.Rend_Geom_Medio_20a),2)*100) + '% (rendimento massimo) \n'\
      + str(round(min(annual_close.Rend_Geom_Medio_20a),2)*100)  + '% (rendimento minimo).')

La media geometrica del rendimento è  8.2%. 
La deviazione standard campionaria è pari a 2.68%.
Il rendimento medio geometrico annuo rispettivamente massimo e minimo rilevati per un qualsiasi ventennio sono stati pari a: 
 14.000000000000002% (rendimento massimo) 
4.0% (rendimento minimo).

Conclusioni

Esplorando il dataframe annual_close è possibile vedere per ogni data i rendimenti geometrici medi per i periodi di detenzione calcolati.

In particolare è possibile notare come per investendo in qualsiasi anno a partire dal 1970 e mantenendo l'investimento per 20 anni, in nessun caso si è avuto un rendimento negativo in termini nominali.

print(annual_close)

           Data  Chiusura_adj  Rend_annuo  Rend_Geom_Medio_5a  \
0    2021-12-27       4778.73      0.2723            0.163746   
52   2020-12-28       3756.07      0.1611            0.129414   
104  2019-12-30       3234.85      0.2776            0.094645   
156  2018-12-31       2531.94     -0.0530            0.066929   
209  2017-12-25       2673.61      0.1942            0.127626   
261  2016-12-26       2238.83      0.0954            0.122266   
313  2015-12-28       2043.94     -0.0069            0.102002   
365  2014-12-29       2058.20      0.1239            0.130407   
417  2013-12-30       1831.37      0.2488            0.144697   
469  2012-12-31       1466.47      0.1661            0.007652   
522  2011-12-26       1257.60     -0.0000           -0.023764   
574  2010-12-27       1257.64      0.1278            0.001494   
626  2009-12-28       1115.10      0.1967           -0.016514   
678  2008-12-29        931.80     -0.3399           -0.034129   
730  2007-12-31       1411.63     -0.0047            0.092121   
783  2006-12-25       1418.30      0.1362            0.038796   
835  2005-12-26       1248.29      0.0300           -0.011151   
887  2004-12-27       1211.92      0.0933           -0.037777   
939  2003-12-29       1108.48      0.2200           -0.020467   
991  2002-12-30        908.59     -0.2251           -0.014018   
1043 2001-12-31       1172.51     -0.1119            0.094056   
1096 2000-12-25       1320.28     -0.1014            0.164734   
1148 1999-12-27       1469.25      0.1953            0.261844   
1200 1998-12-28       1229.23      0.2607            0.213852   
1252 1997-12-29        975.04      0.3035            0.174803   
1304 1996-12-30        748.03      0.2145            0.122718   
1357 1995-12-25        615.93      0.3411            0.139214   
1409 1994-12-26        459.27     -0.0154            0.053805   
1461 1993-12-27        466.45      0.0706            0.109276   
1513 1992-12-28        435.71      0.0390            0.120139   
1565 1991-12-30        419.34      0.3064            0.112161   
1617 1990-12-31        321.00     -0.0917            0.087662   
1670 1989-12-25        353.40      0.2725            0.166418   
1722 1988-12-26        277.72      0.1240            0.109843   
1774 1987-12-28        247.08      0.0026            0.119298   
1826 1986-12-29        246.45      0.1687            0.149961   
1878 1985-12-30        210.88      0.2884            0.091145   
1930 1984-12-31        163.68     -0.0076            0.089715   
1983 1983-12-26        164.93      0.1727            0.114054   
2035 1982-12-27        140.64      0.1476            0.081398   
2087 1981-12-28        122.55     -0.1011            0.026628   
2139 1980-12-29        136.34      0.2799            0.084456   
2191 1979-12-31        106.52      0.1083            0.085401   
2244 1978-12-25         96.11      0.0106           -0.005707   
2296 1977-12-26         95.10     -0.1150           -0.042315   
2348 1976-12-27        107.46      0.1822            0.010306   
2400 1975-12-29         90.90      0.2855           -0.002728   
2452 1974-12-30         70.71     -0.2850           -0.053328   
2504 1973-12-31         98.90     -0.1622                 NaN   
2557 1972-12-25        118.05      0.1563                 NaN   
2609 1971-12-27        102.09      0.1079                 NaN   
2661 1970-12-28         92.15     -0.0091                 NaN   
2713 1969-12-29         93.00         NaN                 NaN   

      Rend_Geom_Medio_10a  Rend_Geom_Medio_20a  
0                0.142818             0.072778  
52               0.115624             0.053667  
104              0.112382             0.040250  
156              0.105129             0.036791  
209              0.065952             0.051729  
261              0.046707             0.056343  
313              0.050546             0.061810  
365              0.054390             0.077881  
417              0.051489             0.070776  
469              0.049036             0.062561  
522              0.007030             0.056450  
574             -0.004849             0.070662  
626             -0.027204             0.059138  
678             -0.027322             0.062394  
730              0.037695             0.091049  
783              0.066068             0.091445  
835              0.073194             0.092985  
887              0.101896             0.105284  
939              0.090416             0.099946  
991              0.076260             0.097774  
1043             0.108294             0.119541  
1096             0.151904             0.120217  
1148             0.153142             0.140206  
1200             0.160386             0.135908  
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